一、拉格朗日插值法實(shí)驗(yàn)計(jì)算近似值例題
在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。
許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。
二、計(jì)算方法拉格朗日插值實(shí)驗(yàn)報(bào)告
拉格朗日插值公式
約瑟夫·拉格朗日發(fā)現(xiàn)的公式
拉格朗日插值公式線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。
三、拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算近似值
拉格朗日點(diǎn)是三體意義下的一種平衡點(diǎn)，在拉格朗日點(diǎn)，第三體受到的另外兩個(gè)物體的引力合力為零。如果稍微偏離平衡點(diǎn)，第三體就會(huì)受到一個(gè)大概指向拉格朗日點(diǎn)方向的合力，類似于繞天體中心的萬(wàn)有引力。從而可以得到環(huán)繞拉格朗日點(diǎn)的暈軌道。
四、計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)拉格朗日插值
構(gòu)造一組插值基函數(shù).”就是構(gòu)造一個(gè)函數(shù),這個(gè)函數(shù)在其中一點(diǎn)的值為1,其它點(diǎn)的值為0。這樣的話把n個(gè)這樣的函數(shù)加權(quán)加起來(lái)得到的函數(shù)就是在每個(gè)點(diǎn)上的值都是需要的了
五、拉格朗日插值求近似值
Pn(x)=a0+a1x+……+anxn
將{x}ni=0代入，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于系數(shù)a0，a1，……，an的n+1元線性方程組，并解出{a}。
由于這種插值方法是最繁雜的，所以一般不會(huì)用到（除非在小學(xué)生面前裝*），所以也不會(huì)考慮其誤差，如果非得考慮的話，由范德蒙德矩陣可知，矩陣非奇異所以Pn(x)存在且唯一，故而誤差和其他插值方法的誤差是一樣的，這里就不做討論了。
六、拉格朗日插值法求近似值
一、拉格朗日插值法
是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日（插值）多項(xiàng)式。
二、Lagrange基本公式：
拉格朗日插值公式，設(shè)，y=f(x)，且xi< x < xi+1，i=0，1，…，n-1，有：
Lagrange插值公式計(jì)算時(shí)，其x取值可以不等間隔。由于y=f(x)所描述的曲線通過(guò)所有取值點(diǎn)，因此，對(duì)有噪聲的數(shù)據(jù)，此方法不可取。
一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，在插值區(qū)間的中間，插值多項(xiàng)式能較好地逼近函數(shù)y=f(x)，但在遠(yuǎn)離中間部分時(shí)，插值多項(xiàng)式與y=f(x)的差異就比較大，越靠近端點(diǎn)，其逼近效果就越差。
三、C++實(shí)現(xiàn)
#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <malloc.h>
double lagrange(double *x,double *y,double xx,int n)/*拉格朗日插值算法*/
{
int i,j;
double *a,yy=0.0;/*a作為臨時(shí)變量，記錄拉格朗日插值多項(xiàng)式*/
a=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
a[i]=y[i];
for(j=0;j<=n-1;j++)
if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
yy+=a[i];
}
free(a);
return yy;
}
/
int main()
{
int i;
int n;
double x[20],y[20],xx,yy;
printf("Input n:");
scanf("%d",&n);
if(n>=20)
{
printf("Error!The value of n must in (0,20).");
getch();
return 1;
}
if(n<=0)
{
printf("Error! The value of n must in (0,20).");
getch();
return 1;
}
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("x[%d]:",i);
scanf("%lf",&x[i]);
}
printf("\n");
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
printf("y[%d]:",i);
scanf("%lf",&y[i]);
}
printf("\n");
printf("Input?xx:");
scanf("%lf",&xx);
yy=lagrange(x,y,xx,n);
printf("x=%.13f,y=%.13f\n",xx,yy);
getch();
}
七、拉格朗日插值法計(jì)算插值函數(shù)
不是，是一種分式函數(shù)，算初等函數(shù)。但是該內(nèi)容出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析中。
八、用拉格朗日插值法求近似值
線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1 其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)