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拉格朗日配方法步驟(拉格朗日使用的條件)

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1. 拉格朗日使用的條件

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 拉格朗日兩種形式

在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問(wèn)題中,拉格朗日乘數(shù)法(以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題,其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù),即拉格朗日乘數(shù):約束方程的梯度(gradient)的線(xiàn)性組合里每個(gè)矢量的系數(shù)。

引入新變量拉格朗日乘數(shù),即可求解拉格朗日方程

此方法的證明牽涉到偏微分,全微分或鏈法,從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

3. 什么時(shí)候用拉格朗日

這個(gè)定理是高數(shù)中比較基礎(chǔ)且比較難的問(wèn)題。一般是證明題中運(yùn)用得比較多。比如說(shuō)證明一個(gè)不等式。需要用到公式中的,切記這個(gè)是滿(mǎn)足區(qū)間中的任意數(shù),要正確理解任意的含義。 舉一個(gè)證明的列子,書(shū)上也出現(xiàn)過(guò)的。證明(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個(gè)題,要先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x)=lnx,然后運(yùn)用拉格朗日中值定理。

4. 拉格朗日方法

拉格朗日插值公式

線(xiàn)性插值也叫兩點(diǎn)插值,已知函數(shù)y=f(x)在給定互異點(diǎn)x0,x1上的值為y0=f(x0),y1=f(x1)線(xiàn)性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式p1(x)=ax+b使它滿(mǎn)足條件p1(x0)=y0p1(x1)=y1其幾何解釋就是一條直線(xiàn),通過(guò)已知點(diǎn)a(x0,y0),b(x1,y1)。線(xiàn)性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣,但由于它是用直線(xiàn)去代替曲線(xiàn),因而一般要求[x0,x1]比較小,且f(x)在[x0,x1]上變化比較平穩(wěn),否則線(xiàn)性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn),有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)去近似地代替復(fù)雜的曲線(xiàn),最簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)是二次曲線(xiàn),用二次曲線(xiàn)去逼近復(fù)雜曲線(xiàn)的情形。

5. 拉格朗日定理使用條件

由開(kāi)爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理(Lagrange theorem),即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢(shì)的情況下,如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無(wú)渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無(wú)渦。反之,若初始時(shí)刻該部分流體有渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為有渦。

6. 拉格朗日約束

羅爾中值定理能推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理,反過(guò)來(lái)拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以推出羅爾中值定理。

泰勒中值定理是由柯西中值定理推出來(lái)的。泰勒中值定理在一階導(dǎo)數(shù)情形就是拉格朗日中值定理。

羅比達(dá)法則是柯西中值定理在求極限時(shí)應(yīng)用。

7. 什么時(shí)候不能用拉格朗日

拉格朗日法是描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法之一,又稱(chēng)隨體法,跟蹤法。

是研究流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(位置坐標(biāo)、速度、加速度等)隨時(shí)間的變化規(guī)律。綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化,便得到了整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

在研究波動(dòng)問(wèn)題時(shí),常用拉格朗日法

8. 拉格朗日定理適用條件

拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中,分別為:流體力學(xué)中的拉格朗日定理;微積分中的拉格朗日定理;數(shù)論中的拉格朗日定理;群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢(shì)的情況下,如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無(wú)渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無(wú)渦。以某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置(a、b、c),作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 如果在一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)分解式中,沒(méi)有一個(gè)數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方,該正整數(shù)可以表示成兩個(gè)平方數(shù)之和。

9. 拉格朗日成立的三個(gè)條件

設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn),先做拉格朗日函數(shù),其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立,即

L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0,

L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0,

φ(x,y)=0

由上述方程組解出x,y及λ,如此求得的(x,y),就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。

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