1. 帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式展開式大全

拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開式與原式之間的一個(gè)誤差值，如果其值為無(wú)窮小，則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；

2. 拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式

拉格朗日插值公式

線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y=f(x)在給定互異點(diǎn)x0,x1上的值為y0=f(x0)，y1=f(x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式p1(x)=ax+b使它滿足條件p1(x0)=y0p1(x1)=y1其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)a(x0,y0)，b(x1,y1)。線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0,x1]比較小，且f（x）在[x0,x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn)，有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線，最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。

3. 常用的拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式

拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開式與原式之間的一個(gè)誤差值，如果其值為無(wú)窮小，則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；同時(shí)： 進(jìn)而： 綜上可得：

4. 8個(gè)常用泰勒公式拉格朗日余項(xiàng)

對(duì)于無(wú)約束條件的函數(shù)求極值，主要利用導(dǎo)數(shù)求解法

例如求解函數(shù)f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2+1的極值。步驟如下：

（1）求出f(x,y)的一階偏導(dǎo)函數(shù)f’x(x,y),f’y(x,y)。

f’x(x,y) = 3x2-8x+2y

f’y(x,y) = 2x-2y

（2）令f’x(x,y)=0,f’y(x,y)=0，解方程組。

3x2-8x+2y = 0

2x-2y = 0

得到解為(0,0),(2,2)。這兩個(gè)解是f(x,y)的極值點(diǎn)。

5. 泰勒公式拉格朗日余項(xiàng)公式

線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線，通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。

線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn)，有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線，最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。

6. 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式推導(dǎo)

= |a||b| * (cos(θ1-θ2)) = |a| * |b| * cosθ第二步簡(jiǎn)化的時(shí)候把(sinθ1 * sinθ2 + cosθ1 * cosθ2)簡(jiǎn)化成了cos(θ1-θ2)但是cos(θ1-θ2)也是在|a| * |b| * cosθ的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的;2;b = ax * bx + ay * by = (|a| * sinθ1) * (|b| * sinθ2) + (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)= |a||b| * (sinθ1 * sinθ2 + cosθ1 * cosθ2) /

7. 泰勒展開的拉格朗日余項(xiàng)展開公式

f(x)=x^(1/2) f(4)=2 f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4f''(x)=-1/2^

2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)∴函數(shù)f（x）＝√x按（x－4）的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階泰勒公式:√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4

8. 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式例題

拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來(lái)解決有約束極值的一種方法。

有約束極值：舉例說(shuō)明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問(wèn)題就叫做有約束極值問(wèn)題。

上述問(wèn)題可以通過(guò)消元來(lái)解決，例如消去x，則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時(shí)消元將會(huì)很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過(guò)程如下：

令

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

令

f對(duì)x的偏導(dǎo)=0

f對(duì)y的偏導(dǎo)=0

f對(duì)k的偏導(dǎo)=0

解上述三個(gè)方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡(jiǎn)單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。

9. 常見拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式

1.帶皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式的不足。

2.帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。

3.對(duì)（拉格朗日余項(xiàng)）泰勒公式的一些說(shuō)明。

4.誤差分析的一般結(jié)論（實(shí)際應(yīng)用時(shí)須具體問(wèn)題具體分析）。

5.附錄：泰勒中值定理2的證明。

擴(kuò)展資料：

高等數(shù)學(xué)指相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對(duì)象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說(shuō)，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)的，將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過(guò)渡。