1. 理論力學(xué)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 分析力學(xué)拉格朗日方程

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

男

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國(guó)籍

法國(guó)

出生地

意大利都靈

職業(yè)

數(shù)學(xué)家

物理學(xué)家

代表作品

《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數(shù)學(xué)分析的開拓者

3. 理論力學(xué) 拉格朗日方程

設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。

4. 機(jī)械動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程

拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：流體力學(xué)中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數(shù)論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢(shì)的情況下，如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無(wú)渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無(wú)渦。以某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置（a、b、c），作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 如果在一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)分解式中，沒(méi)有一個(gè)數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方，該正整數(shù)可以表示成兩個(gè)平方數(shù)之和。

5. 流體力學(xué)拉格朗日方程

在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問(wèn)題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)矢量的系數(shù)。

引入新變量拉格朗日乘數(shù)，即可求解拉格朗日方程

此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

6. 拉格朗日量求運(yùn)動(dòng)方程

首先你的軌跡方程求錯(cuò)了，軌跡方程是y與x的變量關(guān)系（因?yàn)槭窃趚y坐標(biāo)系中），而你的s-t方程是質(zhì)點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離關(guān)于t的關(guān)系（在st坐標(biāo)系中），所以你求的導(dǎo)數(shù)是ds路程關(guān)于t的變化率

位移、速度和加速度是矢量，求的導(dǎo)數(shù)是要分方向求導(dǎo)（矢量微分）

軌跡的參數(shù)方程： ；位矢：

軌跡方程（消去參數(shù)）： （是一個(gè)拋體運(yùn)動(dòng)）

既然知道是拋體運(yùn)動(dòng)，那么以下的求解完全可以用高中的方法做

大學(xué)物理的方法：

分速度方程： ， ；

分加速度方程： ，

加速度是始終不變的：

切向加速度（加速度矢量在速度方向上的投影）：

7. 理論力學(xué)拉格朗日方程公式

拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開式與原式之間的一個(gè)誤差值，如果其值為無(wú)窮小，則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；

8. 拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程

微分方程的引入不僅僅是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)

從而建立方程，在物理學(xué)里面經(jīng)常會(huì)基于一定的物理公式

而引入微分方程。

對(duì)于常微分方程，舉個(gè)彈簧振動(dòng)的例子：

假設(shè)地面光滑，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，得到彈力即為合力，根據(jù)牛頓第二定律，有：

考慮加速度為位移的二階導(dǎo)數(shù)，有：

從而引入了位移對(duì)時(shí)間的二階常微分方程。他的解是一個(gè)余弦函數(shù)，也就是經(jīng)典的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式。在這里牛頓第二定律和加速度定義式

為引入原因。

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偏微分方程也不例外，例如薛定諤方程

的引入：

即考慮粒子波函數(shù)表達(dá)式：

分別對(duì)時(shí)間（t)、空間（x）求導(dǎo)得：

考慮到題主沒(méi)有學(xué)過(guò)多元微積分簡(jiǎn)單說(shuō)一下偏導(dǎo)運(yùn)算的規(guī)則：把不求導(dǎo)變量視作常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)變量按照一元的規(guī)則求導(dǎo)。

考慮能量動(dòng)量的關(guān)系式： ，

故有： ，即一維下的薛定諤方程。

可以看到這里引入對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)的原因就是能量動(dòng)量的關(guān)系式

。

9. 拉格朗日方程求解運(yùn)動(dòng)方程

拉格朗日方程與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的關(guān)系，那是兩個(gè)完全不同的理論體系和運(yùn)動(dòng)規(guī)則以及相關(guān)物理定理都是不同的。