1. 拉格朗日數(shù)乘法求點到直線的距離原理

舉個最簡單的例子

f(x,y)=x+y subject to the constraint:2x+y^2 -5=0

define the lagrange function

L(x,y)=x+y+λ(2x+y-5)

partial derivertive:

d(L)/d(x)=1+2λ=0

d(L)/d(y)=1+λy=0

d(L)/d(λ)=2x+y-5=0

最底下著三個方程組是怎么的出來的

f(x,y)= C ln x1+d ln x2

P1X1+P2X2=M

解

L(x,y) 分別對x,y,λ 求偏導(dǎo)

L(x,y)=C ln x1+d ln x2+λ （P1X1+P2X2-M）

分別對x1,x2,λ 求偏導(dǎo)

d(L)/d(x1)=c/x1+λp1=0

d(L)/d(x1)=d/x2+λp2=0

d(L)/d(x1)=P1X1+P2X2-M=0

2. 拉格朗日乘數(shù)法要考慮端點嗎

構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)

對函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0

4+2ma=0

1+2mb=0

2mc=0

同時a^2+b^2+c^2=3

所以

m=根號17/2根號3

a=-4根號3/根號17

b=-根號3/根號17

4a+b=-根號51

1、是求極值的,不是求最值的

2、如果要求最值,要把極值點的函數(shù)值和不可導(dǎo)點的函數(shù)值還有端點函數(shù)值進(jìn)行比較

3、書上說是可能的極值點,這個沒錯,比如f(x)=x^3,在x=0點導(dǎo)數(shù)確實為0,但是不是極值點,所以是可能的極值點,到底是不是要帶入原函數(shù)再看

3. 拉格朗日乘數(shù)法 原理

拉格郎日乘數(shù)法的適用條件是乘數(shù)不等于0。

求最值（最值是某個區(qū)間的最大或最小,注意最大/最小可能有同值的多個,所以也不唯一哈,極值是一個小范圍,很小很小,內(nèi)的最值）.因為最值總是發(fā)生在極值點+區(qū)間邊界點+間斷點處,所以可以用拉朗乘數(shù)求出極值,用邊界和間斷點極限求出可疑極值,比較他們的大小,就可以找到區(qū)間內(nèi)的最值了.特別地,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)用拉朗求出僅一個極值,切很易判定沒有其他可疑極值點,就可以直接判斷那個極值是最值；或者可以判斷函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)（比如exp（x^2+y^2)在（x>0,y>0)時單調(diào)遞增）,就不用求極值（因為沒有）,直接求區(qū)間邊界（或者間斷點,有間斷點也可以單調(diào)的）作為最值。

4. 拉格朗日乘數(shù)法求拋物線到直線最短距離

拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來解決有約束極值的一種方法。

有約束極值：舉例說明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。

上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時消元將會很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過程如下：

令

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

令

f對x的偏導(dǎo)=0

f對y的偏導(dǎo)=0

f對k的偏導(dǎo)=0

解上述三個方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。

5. 拉格朗日函數(shù)乘數(shù)法

被乘數(shù)在前面，乘數(shù)在后面。乘數(shù)指四則運(yùn)算的乘法中乘以其它數(shù)字的數(shù)字，也叫因數(shù)，一般來說放在算式的后面位置。被乘數(shù)是數(shù)學(xué)術(shù)語，指四則運(yùn)算的乘法中被乘的數(shù)字，又叫因數(shù)，一般來說放在算式的前面。乘法，是指將相同的數(shù)加起來的快捷方式。其運(yùn)算結(jié)果稱為積

6. 利用拉格朗日乘數(shù)法求最短距離

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。

這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數(shù)。

此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

7. 拉格朗日乘數(shù)法求出的點一定是極值點嗎

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值